做AMO数学练习时，面对一个缺了角的棋盘，有的孩子会不断移动小纸片，试图找出铺法。尝试能够帮助理解题目，但若结构本来就不允许，再试很多次也不能说明为什么不行。
一种有用的思路，是先寻找每一步操作都必须保持的数量关系。下面通过自编铺格子练习说明黑白染色方法，不是官方真题，也不代表所有铺放问题都可以用同一种颜色法解决。
一、先看每块骨牌覆盖什么，再给棋盘染色
设每块骨牌恰好覆盖两个相邻的单位格，允许横放或竖放，要求格子全部覆盖、没有重叠。把棋盘按相邻格颜色不同的方式交替染成黑白两色。
此时一块骨牌无论怎样放，都覆盖一个黑格和一个白格。所以若整个图形能被这类骨牌完全铺满，图形中的黑格数与白格数必须相等。这是由每块骨牌的结构推出的必要条件。
| 检查对象 | 需要写清什么 | 不能省略的条件 |
|---|---|---|
| 骨牌 | 覆盖两个相邻单位格 | 不是任意挑两个格子 |
| 铺放方式 | 不重叠且完全覆盖 | 不能留空或越出棋盘 |
| 染色方式 | 相邻格颜色不同 | 行列都要交替 |
| 数量关系 | 每块覆盖一黑一白 | 总数相等只是必要条件 |
二、一个缺角棋盘：格数是偶数还不够
自编练习：在4×4棋盘中，去掉第1行第1列与第4行第4列两个格子，剩余部分能否用上述骨牌铺满？
原棋盘有16格，黑白各8格。若规定行号与列号之和为偶数的格子是黑色，那么被去掉的两个格子坐标和分别为2、8，都是黑格。因此剩下6个黑格、8个白格。
剩余格数为14，是偶数，但若用7块骨牌铺满，就应覆盖7个黑格和7个白格，与6黑8白矛盾。所以不可能完全铺满。偶数格只能保证面积数量没有立即冲突，不能保证位置结构可行。
三、为什么“黑白一样多”也不能直接宣布一定能铺？
前面的推导是“能够铺满，必然黑白相等”。它的逆命题并未被证明。一个图形即使颜色数量匹配，也还需要考虑连通形状和局部限制，或给出实际铺法。
对于某个具体小棋盘，可以先用数量关系排除不可能的情形；通过检查后，再尝试构造。排除法与构造法承担不同任务，不应把“没有发现障碍”写成“已经证明存在”。
还要检查去掉的是哪些格子。若改成去掉一黑一白，原来的颜色数量矛盾就消失了，但这只说明需要进一步分析，并不是原结论可以不改理由直接沿用。
| 练习变式 | 先看什么 | 可以得出什么结论 |
|---|---|---|
| 去掉两个同色格 | 两色数量是否相等 | 本例可直接排除铺满 |
| 去掉一黑一白 | 原来的数量障碍是否还在 | 不能仅凭此确定能铺 |
| 换一种骨牌形状 | 每块覆盖的颜色数量 | 原不变量可能失效 |
| 允许重叠或留空 | 是否仍要求完全覆盖 | 题目已不再是同一模型 |
| 给出一个铺法 | 所有格是否恰好覆盖一次 | 构造需要逐格检验 |
四、让尝试变成证据，而不是只记住一句“不可能”
可以先让孩子试铺，再请他给每块骨牌涂上黑白标记，观察为什么永远是一黑一白。这个动作把直观活动与一般理由连起来，比直接告诉他“用染色法”更容易理解。
复盘时保留三句话：每块骨牌覆盖什么，剩余图形有多少黑白格，二者为何矛盾。换到新题后，先重新确认操作是否保持同一个数量关系，不必急着把所有图都染成两种颜色。
练习材料的组别、工具与考试形式，应按照对应AMO通知另行核对。这里训练的是遇到反复尝试失败时，能够停下来问一句“有没有某个数量关系从一开始就不允许成功”。
